algebra

Álgebra (del árabe: «al-jebr») es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de la aritmética.1 2 A diferencia de la aritmética elemental, que trata de losnúmeros y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables) o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general.3El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.La palabra «álgebra» proviene del vocablo árabe «Al-Jebr, الجبر», que se traduce como «restauración» o «compleción». Deriva del tratado escrito alrededor del año 820 d.C. por el matemático y astrónomo persaMuhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi), titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala(Compendio de cálculo por compleción y comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales ycuadráticas. Muchos de sus métodos derivan del desarrollo de la matemática en el islam medieval, destacando la independencia del álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y de la aritmética.4 Puede considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en aritmética, pero con objetos matemáticos no-numéricos.5 El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos, extensión algebraicao expresión algebraica. Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas. Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente. Historia Véase también: Historia de la matemática. Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica,6 que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind,Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Papiro de Ahmes; datado entre 2000 al 1800 a. C. Las nueve lecciones del arte matemático; compilado durante siglos II y I a. C. Elementos de Euclides, ca. 300 a. C. Álgebra en la Antigua Grecia Arithmetica; escrito por Diofanto alrededor de 280. Véase también: Matemática helénica. Los matemáticos de la Antigua Grecia introdujeron una importante transformación al crear un álgebra de tipo geométrico, en donde los «términos» eran representados mediante los «lados de objetos geométricos», usualmente líneas a las cuales asociaban letras.5 Los matemáticoshelénicos Herón de Alejandría y Diofanto7 así como también los matemáticos indios como Brahmagupta, siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, si bien laArithmetica de Diofanto y el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta se hallan a un nivel de desarrollo mucho más alto.8 Por ejemplo, la primera solución aritmética completa (incluyendo al cero y soluciones negativas) para las ecuaciones cuadráticas fue descrita por Brahmagupta en su libro Brahmasphutasiddhanta. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollarían métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el pádre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.9 Influencia árabe Véase también: Matemática en el islam medieval. Aunque los babilonios y Diofanto utilizaron sobre todo métodos especiales "ad hoc" para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental; resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas sin el simbolismo algebraico, números negativos o el cero, por lo que debe distinguir varios tipos de ecuaciones.10 El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto defunción. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos. Siglo XVI en Europa Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Elálgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce comoteoría de Galois y en temas de la constructibilidad.11 Notación algebraica 12 Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Signos del Álgebra 12 Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación. Signos de operación En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta,multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a × b.